طرق حل المعادلات كثيرات الحدود من الدرجة الخامسة في متغير واحد

سُئل يوليو 24، 2018 بواسطة fawzy (9,614,560 نقاط)

إجابة واحدة

تم الرد عليه يوليو 24، 2018 بواسطة Walaa Hessen (9,551,190 نقاط)

تعتبر طريقة فيراري هي الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة ويمكن شرحها من خلال المعادلات الآتية :

$\qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

نقسم على $a_{4}\,$ ونضع

$\qquad x=z-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}$

لنصل إلى معادلة على صيغة :

$\qquad z^{4}+pz^{2}+qz+r=0$

معادلة تكتب:

$\qquad z^{4}+r=-pz^{2}-qz$

نضيف

$\qquad 2z^{2}{\sqrt {r}}$

لطرفي المتساوية. فنحصل على:

- $\qquad z^{4}+2z^{2}{\sqrt {r}}+r=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz$

نلاحظ أن الطرف الأول يكتب على صيغة مربع:

$\qquad (z^{2}+{\sqrt {r}})^{2}=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz$

من هذه النتيجة الأخيرة, نقوم بالنشر :

$\qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=(z^{2}+{\sqrt {r}})^{2}+2y(z^{2}+{\sqrt {r}})+y^{2}$

$\qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz+2y(z^{2}+{\sqrt {r}})+y^{2}$

$\qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=(2{\sqrt {r}}-p+2y)z^{2}-qz+2y{\sqrt {r}}+y^{2}$

الهدف هو تحديد y بحيث يكتب الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.

الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية z ${\mathcal {}}z$ . يكتب على شكل مربع. إذا كان المميز منعدما يعني:

$\qquad q^{2}-4(2{\sqrt {r}}-p+2y)(2y{\sqrt {r}}+y^{2})=0$

الشيء الذي يعطي, عن طريق النشر والتجميع معادلة من الدرجة الثالثة ${\mathcal {}}y$ الآتية :

$\qquad 8y^{3}+4(6{\sqrt {r}}-p)y^{2}+8(2r-p{\sqrt {r}})y-q^{2}=0$

نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد ${\mathcal {}}y_{0}$ .